Programa Analítico de Análisis Matemático 2010

Jueves, 06 de Mayo de 2010 18:50

UNIDAD 1: FUNCIONES y ECUACIONES PARAMÉTRICAS   Definición de función. Dominio e Imagen. Funciones reales. Valor de una función. Variable independiente y variable dependiente. Dominio natural o implícito. Representación gráfica. Función potencia: f(x) = xa   para a = n donde n es natural, a= − 1 , a= 1/n . Gráficas trasladadas. Funciones definidas por tramos o trozos. Semicircunferencia y semielipse. Paridad o simetrías de funciones. Operaciones con funciones: Múltiplo, suma, diferencia, producto y cociente: Definición, dominio Composición: Definición, dominio. Funciones inversas: Definición. Función uno a uno. Funciones trigonométricas y trigonométricas inversas. Funciones exponencial y logaritmo: Función exponencial: definición. Propiedades de los exponentes. Representación gráfica. Función Logaritmo como inversa de la exponencial. Representación gráfica. Propiedades de los logaritmos. Cambio de base de los logaritmos. Ecuaciones paramétricas: Curvas simples. Ecuaciones paramétricas correspondientes a curvas dadas en forma cartesiana. Obtención de la forma cartesiana de una curva definida por sus ecuaciones paramétricas.   UNIDAD 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD   Límite de una función cuando x tiende a un número: Introducción gráfica al concepto del límite y definición intuitiva. Propiedades de los límites: Unicidad del límite. Límite de una función constante. Límite de la función identidad. Límite del producto de una constante por una función. Límite de la suma y diferencia de funciones. Límite del producto y del cociente de funciones. Límite de una potencia. Límite de una raíz. Límite de una composición de funciones. El límite trigonométrico básico. Límites laterales. Concepto intuitivo. Propiedades de los límites laterales Límites en que interviene infinito: Límite infinito: Concepto intuitivo .Asíntotas verticales. Límites al infinito (x→+∞,x→-∞) . Asíntotas horizontales. Propiedades de los límites infinitos. Formas indeterminadas del límite: Enumeración y Métodos para determinar los resultados de los límites que involucran estas formas. Continuidad: Continuidad en un punto: definición y clasificación de las discontinuidades. Continuidad en un intervalo. Continuidad de la suma, el producto y el cociente de funciones. Composición de funciones continuas. Propiedades de las funciones continuas en un intervalo cerrado: Teorema del valor intermedio y su corolario el Teorema del cero intermedio.   UNIDAD 3: DERIVADA   Definición. La derivada como pendiente de la recta tangente, tasa de cambio, velocidad, etc. Notaciones. Cálculo de derivadas usando la definición Continuidad y derivabilidad. Reglas de la derivación: Derivada de una constante. Regla de la potencia. Múltiplo constante de una función. Reglas de la suma, del producto, del cociente de funciones derivables. Regla de la cadena para obtener la derivada de la composición de funciones. Derivada de las funciones trigonométricas. Derivada de la exponencial. Derivación implícita. Derivación de funciones inversas. Derivadas de las funciones trigonométricas inversas y de las función logaritmo. Derivación logarítmica. Derivada de ecuaciones paramétricas. Derivadas de orden superior. Diferencial: Definición e interpretación geométrica. Aproximación lineal. Reglas para la diferenciación. Aplicaciones.   UNIDAD 4: APLICACIONES DE LA DERIVADA   Extremos de funciones: Máximos y mínimos absolutos en el dominio de una función y en un intervalo. Teorema del valor extremo. Extremos relativos: Máximos y mínimos relativos. Número crítico y punto crítico de la función. Condición necesaria para la existencia de un extremo relativo. Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio. Consecuencias del teorema del valor medio. Trazo de las gráficas de funciones: Funciones crecientes y decrecientes en un intervalo. Definición. Relación con el signo de la derivada primera. Criterio de la derivada primera para los extremos relativos Concavidades. Criterio de la derivada segunda para las concavidades. Punto de inflexión. Definición. Valores críticos de la derivada de la función. Criterio de la segunda derivada para la determinación de extremos relativos. Problemas de aplicación de extremos.   UNIDAD 5: LA INTEGRAL   Antiderivadas o Primitivas y problemas de condiciones iniciales. La primitiva más general, la integral indefinida. Tabla de primitivas. Planteo de problemas de condiciones iniciales. Movimiento rectilíneo. Linealidad de la antiderivación. Técnicas de antiderivación: Integración por sustitución y por partes. Integral definida: Definición según Riemmann. Existencia de la integral definida .Propiedades El teorema fundamental del cálculo: Forma de derivada o primera forma del teorema fundamental del cálculo. Forma antiderivada o segunda forma del teorema fundamental del cálculo. Aplicaciones de la Integral definida: Área de una región plana. Área entre dos curvas. Volúmenes de sólidos de revolución: método de los discos y arandelas. Longitud de arco y área de superficies de revolución.   UNIDAD 6: FUNCIONES DE DOS VARIABLES Funciones de dos o más variables: Definición. Dominio. Gráfica. Curvas de contorno y curvas de nivel. Límite y continuidad de funciones de dos variables. Concepción intuitiva del límite. Teoremas de límites. Definición de continuidad. Clasificación de las discontinuidades. Teoremas de continuidad. Generalización a funciones de tres o más variables. Diferenciación parcial: Definición de derivadas parciales. Interpretación geométrica y física de las derivadas parciales. Generalización a funciones de tres o más variables. Derivadas parciales de orden superior. Derivadas cruzadas o mixtas. Diferencial: Incrementos y diferenciales. Teorema de la aproximación lineal. Diferencial total. Función diferenciable. Diferenciabilidad y continuidad. Diferenciales exactas. Ecuaciones diferenciales exactas. Derivada direccional de una función de dos variables: Gradiente. Definición de derivada direccional. Cálculo de la derivada direccional. Valores máximo y mínimo de la derivada direccional. Extremos de funciones de dos variables .Definición de máximo absoluto y mínimo absoluto. Puntos críticos. Criterio de las segundas derivadas parciales para los extremos relativos. Integrales dobles: Definición. Integrales dobles como integrales simples o iteradas. Evaluación de integrales dobles sobre regiones en el plano. Aplicaciones de las integrales dobles: Área y volumen.   UNIDAD 7: ECUACIONES DIFERENCIALES   Ecuaciones diferenciales de primer orden: Solución por integración directa. Separación de variables Ecuaciones diferenciales de primer orden lineales: Factor integrante, condiciones suficientes para la existencia y unicidad de soluciones. Ecuaciones exactas y factores integrantes. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior: Principio de superposición. Independencia lineal de las soluciones. Existencia y unicidad de las soluciones. Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes: homogéneas y no homogéneas. Soluciones particulares de las ecuaciones no homogéneas: el método de los coeficientes indeterminados.     ING. NÉLIDA B. PRIEMER DE MARCALAIN PROF. TIT. MATEMATICA PARA INGENIEROS

Última actualización el Jueves, 06 de Mayo de 2010 19:17